Mějme tři identické sklenice s vodou. V první sklenici plave samotná kostka ledu, ve druhé je kostka ledu se zamrzlou kovovou matičkou a ve třetí kostka ledu se zamrzlým kusem korku.
Co se v každé z uvedených situací stane s hladinou vody po roztátí ledu (klesne / stoupne / zůstane stejná)?
Bonusová otázka: Ovlivňuje tání ledovců hladinu oceánů? Pokud ano, jak?
Jedna konkrétní tělocvična nabízí možnost tréninků pro veřejnost, přitom počet možných hodin pro trénink závisí na dnu v týdnu (včetně víkendu). Studenti Adam, Bořek, Cyril a David tyto nabízené hodiny plně využili.
Adam od 1. března do 10. března trénoval celkem 21 hodin.
Bořek od 17. března do 28. března trénoval celkem 21 hodin.
Cyril od 1. dubna do 20. dubna trénoval celkem 30 hodin.
Kolik hodin celkem trénoval David od 3. května do 26. května?
Označme až počet možných hodin tréninku v době od 1. března do 7. března. Za celý týden tedy bylo možné trénovat hodin.
Adam trénoval celkem
Bořek trénoval celkem
Cyril trénoval celkem
Adam plus Bořek plus Cytil trénovali celkem
Odtud dostaneme, že .
Konečně David trénoval celkem
Najděte a popiště bijekci mezi následujícími dvěma množinami:
Příklad:
Zapíšeme Dyckovu cestu ve tvaru a potom tvoříme strom následovně:
Příklad:
Automatická sonda pro průzkum hranic Sluneční soustavy má celkovou hmotnost bez paliva 20 tun. Bude startovat z oběžné dráhy okolo Země. Potřebujeme, aby měla i po opuštění Sluneční soustavy rychlost nejméně 20 km/s. Úniková rychlost ze Sluneční soustavy je na dráze Země 42,1 km/s a rychlost oběhu Země je 29,8 km/s. Využijeme jaderný reaktor. Máme dvě možnosti. Využijeme tepelný motor, kde je výtoková rychlost 10 km/s nebo iontový motor s výtokovou rychlostí 200 km/s.
Cvičení by mělo studentům ukázat, že celkové rozměry Sluneční soustavy jsou už řádově srovnatelné s mezihvězdnými vzdálenostmi. A výzvy cesty k okrajům Sluneční soustavy jsou srovnatelné s výzvou, kterou jsou mezihvězdné lety. Odpovědi na jednotlivé otázky cvičení jsou:
(z kopů jich střelíme na bránu a na střed).
(pravděpodobnost gólu bude ).
Postup: Pro pravděpodobnost kopu na stranu a pravděpodobnost, že brankář zůstane na středu, dostáváme vzorec
Ideální je konstantní, tedy s nulovou směrnicí, výsledek dopočítáme z .
Pro úplnost výpočtu bychom mohli doplnit, že pro stoupající ( mezi a , ) vyjde a pro klesající ( mezi a , ) vyjde .
Rozhodněte, zda dvě operace s množinami , které se liší uzávorkováním,
jsou si rovny.
Své rozhodnutí vysvětlete. Záleží na umístění závorek?
Výrazy se nerovnají. Vezmeme-li například , potom , ale .
Najděte a vyfoťte zmíněnou pamětní desku.
Juliova množina je množina všech komplexních čísel , pro která je posloupnost
ohraničená. Tato množina bodů v Gaussově rovině
Konstrukce aproximace Juliovy množiny: zvolí se poloměr kruhu se středem v nule a maximální počet členů testovné posloupnosti. Posloupnost se prohlásí za ohraničenou právě tehdy, když pro každé je . V opačném případě je posloupnost považována za neohraničenou.
Pro středovou resp. osovou souměrnost každé aproximace Juliovy množiny je nutné a stačí, aby počet členů posloupnosti startujících ze dvou středově resp. osově souměrných bodů byl až do rozhodnutí o ohraničenosti či neohraničenosti vždy stejný.
Všechny startovací body osově souměrné podle jsou tvaru . Analogickou úvahou dospějeme opět k závěru, že Juliova množina je souměrná podle právě tehdy, když .
Pro fajnšmekry: Středová souměrnost je rotace o 180°. Každá rotace je složena ze dvou osových souměrností s osami svírajícími poloviční úhel. Víme-li tedy, že množina je středově souměrná a zároveň osově souměrná podle jedné osy , je nutně souměrná i podle osy kolmé na . Souměrnost Juliovy množiny podle tedy není třeba dokazovat zvlášť. 😊
Nalezněte funkční hodnotu čísla v Conwayově třináctkové funkci , tj. .
Číslo musíme převést do třináctkové soustavy. Uvážíme-li mocniny čísla , tak dostaneme
Dostali jsme, že . Číslo ve třináctkové soustavě (obsahující obvyklé symboly ) přepíšeme jako
Pokud však vezmeme namísto symbol a namísto desetinnou tečku, dostaneme
Proto platí .
Řekněme, že dvě množiny mají stejnou mohutnost (kardinalitu) , jestliže existuje nějaká bijekce . Dále definujeme například (alef nula) a (mohutnost kontinua).
Určete kardinalitu intervalu
a dokažte svůj výsledek nalezením vhodné bijekce.
Ukážeme, že . Aby bylo , podle definice by musela existovat bijekce ; najdeme nějakou. Stačí využít nějakou prostou funkci, která zobrazuje celou reálnou osu na nějaký otevřený interval, například
Podobných bijekcí samozřejmě existuje nekonečně mnoho.
Najděte -adické vyjádření čísla .
Začneme s tím, že spočítáme -adicky, tedy nekonečnou řadu takovou, že .
Jednoduše spočítáme, že je to řada taková, že
Pro musíme tuto řadu vynásobit dvěma, tedy dostaneme
K této přednášce nebyla použita prezentace.
Mějme konečnou množinu kongruencí , která tvoří pokrývací systém, tj. každé celé číslo splňuje alespoň jednu z těchto kongruencí. Předpokládejme, že . Všechna jsou po dvou různá a všechna jsou větší než .
Dokažte, že pak v takovémto systému existuje alespoň jedna kongruence s modulem , tedy že pro nějaké od do je .
Označme . Uvažujme čísla od do . Snadno ověříme, že -tou kongruenci splňuje právě z těchto čísel. Aby tedy kongruence pokryly všechna čísla, musí platit
neboli
Je-li a čísla jsou různá, tato nerovnost nemůže být splněna, protože
Bude přidáno později.
Prezentace nebyla zveřejněna z důvodu možného porušení autorských práv.
Navrhněte schodiště do rodinného domu.
Na první otázku je odpověď: Nesplňují normu, kvůli sklonu.
Výpočet: Délka schodiště je 100 cm, podesta 100 cm. Tedy celkem 200 cm schodů a potřebuji nastoupat výšku 267.5 cm. Tedy goniometrický výpočet úhlu přes tangens. Tím dostáváme sklon přes 53°. Tedy tyto schody jsou pro rodinný dům (RD) nepoužitelné, neboť tam platí norma, že sklon má být mezi 25–35°.
Dostáváme se k druhé otázce:
Výpočet: Trajektorie chození se u točitých schodů nepočítá v půlce, ale v jedné třetině na vnější straně. Tedy délka schodiště je 100 cm, zatáčka vypočítaná pomocí obvodu kruhu , rovinka 100 cm. Celkem tedy délka přibližně 420 cm a výška stejná 267.5 cm.
Uznávám, tady přichází trochu nejasnost s tím poloměrem, jestli je 105 cm, či 100 cm. Někdo klidně může počítat i se 100 cm. Nevadí, vychází to podobně. Viz tabulka, odpověď je 15 schodů a pak podle poloměru vychází sklon k 33°, délka schodu něco přes 27 cm a výška schodu něco těsně pod 18 cm. Tedy normy jsou splněny.
Dokažte, že pro všechna platí
Nalezněte rozvoj čísla (sto čtyři) v soustavě o základu s číslicemi .
Postupovat můžeme modifikací klasického „modulárního“ algoritmu. Najdeme-li nějaký zápis , potom platí . Z toho plyne, že musíme zvolit tak, aby bylo číslo dělitelné třemi. Jediná možnost je . Potom máme
Budeme tedy analogicky hledat zápis čísla . Proces opakujeme, až se dostaneme na nulu. Celkově vyjde
K této přednášce nebyla použita prezentace.
Každému přirozenému číslu zapsanému v číselné soustavě o základu ,
přiřaďme součet
Konečnou posloupnost po sobě jdoucích přirozených čísel nazveme segment.
Úlohu formulujme takto:
Pro daný základ označme symbolem nejmenší splňující podmínku, že každý segment délky obsahuje číslo takové, že je dělitelné číslem .
Určete .
Jinými slovy: Jaké je minimální číslo , pro které mezi každými po sobě jdoucími přirozenými čísly existuje číslo, jehož součet číslic v zápisu o základu je dělitelný ?
Bude zveřejněno v některém z budoucích čísel RMF.