Úlohy z oslavy 100. ročníku RMF

Luboš Pick: Česká matematická společnost

Prezentace (pdf)

Zadání

  1. Nalezněte přirozené číslo n takové, aby n2+n+41 nebylo prvočíslo.
  2. Určete, která z rovností neplatí:
    1=(1)3=(1)62=(1)6=1=1.
  3. Týpek si vaří k snídani vajíčko. Snídaně se nazývá dokonalá, jestliže se vajíčko vaří 15 minut. Týpek má dvoje přesýpací hodiny, jedny s cyklem 7 minut, druhé s cyklem 11 minut. Dočká se týpek dokonalé snídaně?

Řešení od opravujícího

  1. Nejmenší takové n je 40, protože 402+40+41=4041+41=412.
  2. Chyba je v rovnosti (1)62=(1)6. Mocninu se zlomkem má smysl přepsat jako odmocninu pouze tehdy, pokud umocňujeme kladné číslo.
  3. Otočíme oboje hodiny zároveň. Až se dosypou sedmiminutové, začneme vařit vajíčko. Až se dosypou jedenáctiminutové, otočíme je a po druhém dosypání skončíme s vařením.

Marie Snětinová: Pokusy z kuchyně i z obýváku

Prezentace (pptx)

Zadání

Mějme tři identické sklenice s vodou. V první sklenici plave samotná kostka ledu, ve druhé je kostka ledu se zamrzlou kovovou matičkou a ve třetí kostka ledu se zamrzlým kusem korku.

Co se v každé z uvedených situací stane s hladinou vody po roztátí ledu (klesne / stoupne / zůstane stejná)?

Bonusová otázka: Ovlivňuje tání ledovců hladinu oceánů? Pokud ano, jak?

Řešení od autorky (pdf)

Jaroslav Zhouf: Historie RMF

Prezentace (pptx)

Zadání

Jedna konkrétní tělocvična nabízí možnost tréninků pro veřejnost, přitom počet možných hodin pro trénink závisí na dnu v týdnu (včetně víkendu). Studenti Adam, Bořek, Cyril a David tyto nabízené hodiny plně využili.

Adam od 1. března do 10. března trénoval celkem 21 hodin.

Bořek od 17. března do 28. března trénoval celkem 21 hodin.

Cyril od 1. dubna do 20. dubna trénoval celkem 30 hodin.

Kolik hodin celkem trénoval David od 3. května do 26. května?

Řešení od autora

Označme t1t7 počet možných hodin tréninku v době od 1. března do 7. března. Za celý týden tedy bylo možné trénovat T=t1++t7 hodin.

Adam trénoval celkem

T+t1+t2+t3=21hodin.

Bořek trénoval celkem

T+t3+t4+t5+t6+t7=2Tt1t2=21hodin.

Cyril trénoval celkem

3Tt3=30hodin.

Adam plus Bořek plus Cytil trénovali celkem

6T+t1+t2+t3t1t2t3=6T=72hodin.

Odtud dostaneme, že T=12hodin.

Konečně David trénoval celkem

3T+t1+t2+t3=2T+(T+t1+t2+t3)=212+21=45hodin.

Kryštof Sedláček: Catalanova čísla

Prezentace (pdf)

Zadání

Najděte a popiště bijekci mezi následujícími dvěma množinami:

Příklad:

Řešení od autora

Zapíšeme Dyckovu cestu ve tvaru DU a potom tvoříme strom následovně:

  • První U znamená: vytvoř kořen stromu.
  • Každý další krok U znamená: vytvoř nový vnitřní uzel nalevo (pokud nalevo už je, vytvoř napravo) od předešlého a sestup do něj.
  • Každý další krok D znamená: dokonči uzel (dodělej mu listy tak, aby měl dva potomky) a vrať se o úroveň výše (k předkovi).

Příklad:

Vladimír Wagner: Hvězdné lety a logaritmické rovnice

Prezentace (pdf)

Zadání

Automatická sonda pro průzkum hranic Sluneční soustavy má celkovou hmotnost bez paliva 20 tun. Bude startovat z oběžné dráhy okolo Země. Potřebujeme, aby měla i po opuštění Sluneční soustavy rychlost nejméně 20 km/s. Úniková rychlost ze Sluneční soustavy je na dráze Země 42,1 km/s a rychlost oběhu Země je 29,8 km/s. Využijeme jaderný reaktor. Máme dvě možnosti. Využijeme tepelný motor, kde je výtoková rychlost 10 km/s nebo iontový motor s výtokovou rychlostí 200 km/s.

  1. Jaká je hmotnost potřebného vodíku, který je médiem pro pohon tepelného motoru, a xenonu, který se urychluje v iontovém motoru?
  2. Jaká bude kinetická energie sondy po konci urychlování a jaká bude efektivita využití kinetické energie urychlovacího media pro zmíněné varianty? Diskutujte z hlediska efektivity vhodnost různých motorů pro jakou změnu rychlosti?
  3. Jak dlouho po urychlení potrvá cesta sondy k hranicím Kuiperova pásu, který je okolo 60 AU, hranicím heliopauzy ve vzdálenosti 130 AU a hranicím Sluneční soustavy, která je za hranicí Oortova oblaku někde u 130 000 AU (AU – astronomická jednotka je přibližně 149,6 milionů kilometrů). Diskutujte smysluplný dosah sond.

Řešení od autora

Cvičení by mělo studentům ukázat, že celkové rozměry Sluneční soustavy jsou už řádově srovnatelné s mezihvězdnými vzdálenostmi. A výzvy cesty k okrajům Sluneční soustavy jsou srovnatelné s výzvou, kterou jsou mezihvězdné lety. Odpovědi na jednotlivé otázky cvičení jsou:

  1. Rychlost potřebná k opuštění Sluneční soustavy závisí na tom, jaká je naše startovní vzdálenost od Slunce. Pokud mezihvězdná loď začíná svou cestu z orbity Země okolo Slunce, je úniková rychlost vu = 42,1 km/s. Tato rychlost dodává lodi kinetickou energii Eku dostatečnou k tomu, aby vyrovnala potenciální energii gravitačního pole Slunce a umožnila opustit gravitační studnu vytvářenou Sluncem, ve které je Země (i sonda). Pokud chceme, aby měla sonda po opuštění Sluneční soustavy zbytkovou rychlost, konkrétně vo = 20 km/s. Musí tak mít navíc kinetickou energii Ekv odpovídající této rychlosti. Kinetická energie je kvadratickou funkci rychlosti. Celková energie Ekt daná celkovou rychlosti vt:
    Ekt=Eku+Ekv,
    movt22=m0vu22+m0vo22;
    odsud pak dostaneme velikost celkové potřebné rychlosti:
    vt=vu2+vo2.
    K opuštění Sluneční soustavy můžeme využít oběžnou rychlost Země vZ = 29,8 km/s. Start by tak probíhal tečně k dráze Země ke Slunci a k rychlosti oběhu Země se přičte dodatečná rychlost ve stejném směru, abychom získaly potřebnou rychlost vt pro opuštění Sluneční soustavy s rychlostí 20 km/s. Rychlost vp, kterou pak musíme dodat, je:
    vp=vtvZ=vu2+vo2vZ,
    vp=42.12+20229.8=16.8.
    Tuto změnu rychlosti pak musíme zajistit raketovým pohonem, jehož fungování popisujeme Ciolkovského rovnicí Δv=vp:
    mImF=mF(eΔvvv1),
    mImF=20t(e16.8101)=87.4t,
    mImF=20t(e16.82001)=1.75t,
    Po dosazení tak dostaneme potřebu hmotnosti vodíku v jaderném štěpném reaktoru 87,4 tun a potřeby hmotnosti xenonu pak pouhých 1,75 tuny.
  2. Po opuštění Sluneční soustavy má sonda rychlost 20 km/s, a tedy kinetickou energii:
    E=mFvo22=20t(20km/s)22=20103kg(20103m/s)2=41012J=4TJ.
    Pro výpočet účinnosti kinetické energie v palivu využijeme vztahu z přednášky:
    η=(Δvvv)2eΔvvv1.
    Pro štěpný pohon dostaneme 64,6 %, což je hodnota velmi blízko optima. Pro iontový motor je to pouze 8,1 %, zde by mělo optimálně urychlování probíhat déle a na vyšší rychlost.
  3. Po urychlení a dosažení dostatečné vzdálenosti od Slunce bude rychlost 20 km/s. Dobu, kterou potrvá, než se sonda dostane na hranici Kuiperova pásu, heliopauzy a překoná Oortův oblak spočítáme jako dráhu dělenou rychlostí. Přitom využijeme to, že astronomická jednotka AU je zhruba 149,6 milionů kilometrů, případně jeden světelný rok je 63 241 AU. Postupně tak dostaneme, že vzdálenost 60 AU k hranici Kuiperova pásu planetoid překoná za zhruba 448 800 000 s, což je 14,2 let a vzdálenost heliopauzy 130 AU vede k době letu 30,8 let. Hranice Oortova oblaku je okolo 130 000 AU, což je tisíckrát dále, než je hranice heliopauzy. To znamená, že také doba letu je tisíckrát delší, tedy 30 800 let. Jinak ve hvězdných letech je to 2,06, což je téměř polovina vzdálenosti k nejbližší hvězdě Proximě Centauri. Je tak vidět, že náročnost vypuštění sondy k průzkumu hranic Sluneční soustavy je srovnatelná s mezihvězdnými lety.

Tomáš Roskovec: Pravděpodobnost a hry

Prezentace (pdf)

Zadání (pdf)

Řešení od autora

p=56 (z 6 kopů jich 5 střelíme na bránu a 1 na střed).

P=23 (pravděpodobnost gólu bude 2367%).

Postup: Pro p pravděpodobnost kopu na stranu a q pravděpodobnost, že brankář zůstane na středu, dostáváme vzorec

P(p,q)=pq0.8+0.6(1q)p+0(1p)q+1(1p)(1q),
P=q(1.2p1)+10.4p.

Ideální je P konstantní, tedy s nulovou směrnicí, výsledek dopočítáme z 1.2p1=0.

Pro úplnost výpočtu bychom mohli doplnit, že pro P stoupající (p mezi 56 a 1, q=0) vyjde P=10.4p<23 a pro P klesající (p mezi 0 a 56, q=1) vyjde P=0.8p<23.

Martina Škorpilová: Paprskové 𝒏-úhelníky

Prezentace (pdf)

Zadání (pdf)

Řešení od autorky (pdf)

Alena Šolcová: Od vzniku JČMF k Rozhledům

Prezentace (odp)

Zadání

Rozhodněte, zda dvě operace s množinami A,B,C, které se liší uzávorkováním,

  1. A(BC),
  2. (AB)C,

jsou si rovny.

Své rozhodnutí vysvětlete. Záleží na umístění závorek?

Řešení od opravujícího

Výrazy se nerovnají. Vezmeme-li například A={1},B={2},C={3}, potom A(BC)={1}, ale (AB)C=.

Ivo Kraus: V Husově ulici č. 5 se dařilo exaktním vědám

Prezentace (pdf)

Zadání

Najděte a vyfoťte zmíněnou pamětní desku.

Dalibor Martišek: Symetrie Juliovy množiny

Zadání

Juliova množina je množina všech komplexních čísel z0, pro která je posloupnost

zn+1=zn2+c;zn,c;n{0}

ohraničená. Tato množina bodů v Gaussově rovině

  1. je středově souměrná podle nuly, a to včetně všech svých aproximací. Dokažte!
  2. Může být i osově souměrná? Jestliže ano, kdy?

Konstrukce aproximace Juliovy množiny: zvolí se poloměr r kruhu 𝒦 se středem v nule a maximální počet nmax členů testovné posloupnosti. Posloupnost se prohlásí za ohraničenou právě tehdy, když pro každé n=0;1;;nmax je zn𝒦. V opačném případě je posloupnost považována za neohraničenou.

Řešení od autora

Pro středovou resp. osovou souměrnost každé aproximace Juliovy množiny je nutné a stačí, aby počet členů posloupnosti startujících ze dvou středově resp. osově souměrných bodů z0;z0 byl až do rozhodnutí o ohraničenosti či neohraničenosti vždy stejný.

  1. Všechny startovací body středově souměrné podle nuly jsou tvaru z0;z0. Pro každé komplexní číslo z je ovšem z2 = (z)2, pro každé n tedy platí i zn+1=zn2+c=(zn)2+c. Každé dva procesy, které startují ze středově souměrných bodů, tedy generují tutéž posloupnost (až na z0;z0, které ale oba jsou anebo nejsou v kruhu).
  2. Všechny startovací body osově souměrné podle reálné osy (Re) jsou tvaru z0;z¯0. Pro každé komplexní číslo z je (z¯)2=(z2)¯. Dva procesy startující z bodů z0;z¯0 jsou tvaru zn+1=zn2+c resp. zn+1=(z¯n)2+c. Tyto dvě posloupnosti mohou být komplexně sdružené (tedy souměrné podle Re), a to právě tehdy, když c=c¯c. A protože kruh 𝒦 je rovněž souměrný podle Re, je uvnitř něj vždy stejný počet členů posloupnosti.

Všechny startovací body osově souměrné podle Im jsou tvaru ±a+bi. Analogickou úvahou dospějeme opět k závěru, že Juliova množina je souměrná podle Im právě tehdy, když c.

Pro fajnšmekry: Středová souměrnost je rotace o 180°. Každá rotace je složena ze dvou osových souměrností s osami svírajícími poloviční úhel. Víme-li tedy, že množina je středově souměrná a zároveň osově souměrná podle jedné osy o, je nutně souměrná i podle osy kolmé na o. Souměrnost Juliovy množiny podle Im tedy není třeba dokazovat zvlášť. 😊

Jan Jekl: Conwayova funkce ve třináctkové soustavě a její význam

Prezentace (pptx)

Zadání

Nalezněte funkční hodnotu čísla 294246 v Conwayově třináctkové funkci C13(x), tj. C13(294246)=?.

Řešení od autora

Číslo 294246 musíme převést do třináctkové soustavy. Uvážíme-li mocniny čísla 13, tak dostaneme

n012345
13n113169219728561371293
  1. Číslo 135 je větší než číslo 294246.
  2. Proto budeme hledat největší celočíselný násobek 134, který je menší než 294246. Dostaneme 10134=285610<294246 a toto číslo odečteme od 294246. Získáme zbytek 8636.
  3. Analogicky pokračujeme se zbytkem 8363. Platí 3133=6591<8363 a po odečtení 83636591=2045.
  4. Platí 12132=2028<2045 a po odečtení 20452028=17.
  5. Platí 1131<17 a po odečtení zbývá 1713=4.
  6. Platí 4130=4 a po odečtení zbývá 44=0. Nemáme žádný zbytek a jsme u cíle.

Dostali jsme, že 294246=10134+3133+12132+1131+4130. Číslo 294246 ve třináctkové soustavě (obsahující obvyklé symboly 0,1,,9,A,B,C) přepíšeme jako

29424610=A3C1413.

Pokud však vezmeme namísto A symbol + a namísto C desetinnou tečku, dostaneme

29424610=+3.1413.

Proto platí C13(294246)=3.14.

Pavel Gajdoš: Kardinální čísla aneb jak spočítat nespočetné

Prezentace (pptx)

Zadání

Řekněme, že dvě množiny A,B mají stejnou mohutnost (kardinalitu) |A|=|B|, jestliže existuje nějaká bijekce AB. Dále definujeme například ||=0,|{1,,n}|=n,||=0 (alef nula) a ||=𝔠 (mohutnost kontinua).

Určete kardinalitu intervalu

I=(0,1)

a dokažte svůj výsledek nalezením vhodné bijekce.

Řešení od autora

Ukážeme, že |I|=𝔠. Aby bylo |I|=𝔠=||, podle definice by musela existovat bijekce φ:I; najdeme nějakou. Stačí využít nějakou prostou funkci, která zobrazuje celou reálnou osu na nějaký otevřený interval, například

φ(x)=12x1+|x|+12neboφ(x)=1πarctan(x)+12.

Podobných bijekcí samozřejmě existuje nekonečně mnoho.

Adéla Heroudková: 𝒑-adická čísla

Prezentace (pdf)

Zadání

Najděte 5-adické vyjádření čísla 23.

Řešení od autorky

Začneme s tím, že spočítáme 13 5-adicky, tedy nekonečnou řadu takovou, že 3n=0an5n=1.

Jednoduše spočítáme, že je to řada taková, že

an={2pron=0,3pronliché,1pronsudé,n>0.

Pro 23 musíme tuto řadu vynásobit dvěma, tedy dostaneme

an={4pron=0,1pronliché,3pronsudé,n>0.

Lukáš Moudrý: Pokrývací systémy

Prezentace

K této přednášce nebyla použita prezentace.

Zadání

Mějme konečnou množinu kongruencí {xai(modni)}i=1k, která tvoří pokrývací systém, tj. každé celé číslo x splňuje alespoň jednu z těchto kongruencí. Předpokládejme, že k4. Všechna ni jsou po dvou různá a všechna jsou větší než 1.

Dokažte, že pak v takovémto systému existuje alespoň jedna kongruence s modulem 2, tedy že pro nějaké i od 1 do 4 je ni=2.

Řešení od opravujícího

Označme N=n1nk. Uvažujme čísla od 1 do N. Snadno ověříme, že i-tou kongruenci splňuje právě Nni z těchto čísel. Aby tedy kongruence pokryly všechna čísla, musí platit

Nn1++NnkN

neboli

1n1++1nk1.

Je-li k4 a čísla ni3 jsou různá, tato nerovnost nemůže být splněna, protože

1n1++1nk13+14+15+16=1920<1.

Mirko Rokyta: Nejtěžší je dokázat, že něco nejde

Prezentace (pdf)

Zadání

Najděte konfiguraci 20 kamenů, se kterou se dá doskákat do čtvrté řady.

Řešení od autora

Bude přidáno později.

Jakub Řada: Návrh točitého schodiště v rodinném domě

Prezentace

Prezentace nebyla zveřejněna z důvodu možného porušení autorských práv.

Zadání

Navrhněte schodiště do rodinného domu.

Řešení od autora

Na první otázku je odpověď: Nesplňují normu, kvůli sklonu.

Výpočet: Délka schodiště je 100 cm, podesta 100 cm. Tedy celkem 200 cm schodů a potřebuji nastoupat výšku 267.5 cm. Tedy goniometrický výpočet úhlu přes tangens. Tím dostáváme sklon přes 53°. Tedy tyto schody jsou pro rodinný dům (RD) nepoužitelné, neboť tam platí norma, že sklon má být mezi 25–35°.

Dostáváme se k druhé otázce:

Výpočet: Trajektorie chození se u točitých schodů nepočítá v půlce, ale v jedné třetině na vnější straně. Tedy délka schodiště je 100 cm, zatáčka vypočítaná pomocí obvodu kruhu 122π13(100+5), rovinka 100 cm. Celkem tedy délka přibližně 420 cm a výška stejná 267.5 cm.

Uznávám, tady přichází trochu nejasnost s tím poloměrem, jestli je 105 cm, či 100 cm. Někdo klidně může počítat i se 100 cm. Nevadí, vychází to podobně. Viz tabulka, odpověď je 15 schodů a pak podle poloměru vychází sklon k 33°, délka schodu něco přes 27 cm a výška schodu něco těsně pod 18 cm. Tedy normy jsou splněny.

Oliver Bukovianský: Nerovnost s absolutní hodnotou

Prezentace (pdf)

Zadání

Dokažte, že pro všechna x,y,z platí

|x+y|+|y+z|+|z+x||x|+|y|+|z|+|x+y+z|.

Řešení

Adam Blažek: Nestandardní číselné soustavy

Prezentace (pdf)

Zadání

Nalezněte rozvoj čísla 104 (sto čtyři) v soustavě o základu 3 s číslicemi {1,0,1}={1̲,0,1}.

Řešení od autora

Postupovat můžeme modifikací klasického „modulárního“ algoritmu. Najdeme-li nějaký zápis 104=[ana1a0]3, potom platí 104=3[ana1]3+a0. Z toho plyne, že a0 musíme zvolit tak, aby bylo číslo 104a0 dělitelné třemi. Jediná možnost je a0=1. Potom máme

[ana1]3=104(1)3=35.

Budeme tedy analogicky hledat zápis čísla 35. Proces opakujeme, až se dostaneme na nulu. Celkově vyjde

104=[11̲011̲]3.

Vlastimil Dlab: Hrátky s přirozenými čísly

Prezentace

K této přednášce nebyla použita prezentace.

Zadání

Každému přirozenému číslu a zapsanému v číselné soustavě o základu z,z2,

a=as×zs+as1×zs1++a2×z2+a1×z+a0

přiřaďme součet

σz(a)=t=0sat.

Konečnou posloupnost po sobě jdoucích přirozených čísel nazveme segment.

Úlohu formulujme takto:

Pro daný základ z označme symbolem 𝐌𝐢𝐧(z) nejmenší d splňující podmínku, že každý segment délky d obsahuje číslo x takové, že σz(x) je dělitelné číslem z+1.

Určete 𝐌𝐢𝐧(z).

Jinými slovy: Jaké je minimální číslo Mz, pro které mezi každými po sobě jdoucími Mz přirozenými čísly existuje číslo, jehož součet číslic v zápisu o základu z je dělitelný z+1?

Řešení od autora

Bude zveřejněno v některém z budoucích čísel RMF.